Partielle Integration
Die partielle Integration ist eine Methode zum Integrieren von einem Produkt. Sie ist die Umkehrung der Produktregel der Differenzialrechnung und besagt:
$\int f(x)\cdot g'(x) \, \mathrm{d}x =$ $f(x)\cdot g(x) - \int f'(x)\cdot g(x) \, \mathrm{d}x$
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Tipp
Man nutzt die partielle Integration häufig, wenn das Integral ein Produkt aus zwei Funktionen ist, von denen eine leicht abzuleiten und die andere leicht zu integrieren ist.
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Beachte
Das neue Integral $\int f'(x)\cdot g(x)$ sollte nicht schwerer sein als das davor.
Man sollte für $f(x)$ also einen Faktor nehmen, der abgeleitet das Integral vereinfacht.
Man sollte für $f(x)$ also einen Faktor nehmen, der abgeleitet das Integral vereinfacht.
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Vorgehensweise
- $f(x)$ und $g'(x)$ bestimmen
- $f'(x)$ berechnen: $f(x)$ ableiten
- $g(x)$ berechnen: $g'(x)$ integrieren
- Einsetzen und Integral lösen
Beispiel
Löse das Integral $\int x\cdot\cos(x) \, \mathrm{d}x$ mit partieller Integration.
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$f(x)$ und $g'(x)$ bestimmen
$f(x)=x$
$g'(x)=\cos(x)$
Grund: $x$ ist abgeleitet 1, was das Integral vereinfacht. $f'(x)$ berechnen: $f(x)$ ableiten
$f(x)=x$
$f'(x)=\color{blue}{1}$-
$g(x)$ berechnen: $g'(x)$ integrieren
$g'(x)=\cos(x)$
$g(x)=\color{green}{\sin(x)}$
Tipp: Die Stammfunktion von $\cos(x)$ und einiger anderer elementarer Funktionen sollte man sich merken. -
Einsetzen und Integral lösen
Zuerst wird $f'(x)$ und $g(x)$ eingesetzt:
$\int f(x)\cdot g'(x) \, \mathrm{d}x$ $=f(x)\cdot \color{green}{g(x)} - \int \color{blue}{f'(x)}\cdot \color{green}{g(x)} \, \mathrm{d}x$
$\int x\cdot\cos(x) \, \mathrm{d}x$ $=x\cdot\color{green}{\sin(x)} - \int \color{blue}{1}\cdot\color{green}{\sin(x)} \, \mathrm{d}x$
$=x\cdot\sin(x) - \color{red}{\int \sin(x) \, \mathrm{d}x}$
Jetzt muss das Integral gelöst werden.
$\color{red}{\int \sin(x)\, \mathrm{d}x}=-\cos(x)$
Gelöstes Integral einfügen:
$\int x\cdot\cos(x) \, \mathrm{d}x$ $=x\cdot\sin(x) - (-\cos(x))$ $=x\cdot\sin(x)+\cos(x)\color{purple}{+C}$
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Tipp
Wenn es sich wie hier um ein unbestimmtes Integral handelt, muss am Ende noch die Integrationskonstante $\color{purple}{C}$ gesetzt werden.
Partielle Integration, Integrationsregeln, Integrieren von Funktionen, Stammfunktion
Die partielle Integration wird angewendet, wenn man das Integral eines Produktes von zwei Funktionen berechnen soll. Dabei sollte eine Funktion $f$ leicht abzuleiten und eine Funktion $g'$ leicht zu integrieren sein.
Die beiden Funktionen $f(x)$ und $g'(x)$ musst du häufig selbst wählen. Folgendes solltest du beachten:
- Zuerst $g'(x)$ suchen. Dies sollte die Ableitung einer Funktion sein, die du im Kopf hast oder eine Funktion, die du leicht integrieren kannst.
- Sinus-, Kosinus- und e-Funktion bieten sich häufig gut für $g'(x)$ an.
- Das neue Integral $\int f'(x)\cdot g(x)$ sollte nicht schwerer als das davor sein.
