Integrieren von Brüchen und Wurzeln
Brüche und Wurzeln kann man häufig integrieren, indem man erst die Potenzgesetze und dann die Integrationsregeln anwendet.
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Merke
Brüche lassen sich in eine Potenz mit negativem Exponenten umschreiben:
$\frac{1}{a^x}=a^{-x}$
Wurzeln kann man auch als Potenz mit rationalem Exponenten schreiben:
$\sqrt[n]{a^m}=a^{\frac{m}{n}}$
$\frac{1}{a^x}=a^{-x}$
Wurzeln kann man auch als Potenz mit rationalem Exponenten schreiben:
$\sqrt[n]{a^m}=a^{\frac{m}{n}}$
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Vorgehensweise
- Bruch bzw. Wurzel in Potenz umformen
- Integrationsregeln anwenden
- Potenz ggf. wieder als Bruch oder Wurzel schreiben
Beispiele
$\int \frac{1}{x^2}\, \mathrm{d}x$
Bruch in Potenz umformen
$\int \frac{1}{x^2}\, \mathrm{d}x=\int x^{-2}\, \mathrm{d}x$Potenzregel anwenden
$\int x^{-2}\, \mathrm{d}x=\frac{1}{-2+1}x^{-2+1}$ $=-x^{-1}$Potenz als Bruch schreiben
$\int \frac{1}{x^2}\, \mathrm{d}x=-\frac{1}{x}\color{purple}{+C}$
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Beachte
Ausnahme: Beim Integrieren von $\frac{1}{x}=x^{-1}$ gilt diese Regel NICHT, da man dann die Potenzregel nicht anwenden darf.
Dieses Integral sollte man sich also merken:
$\int \frac1x \,\mathrm{d}x=\ln|x|+C$
Dieses Integral sollte man sich also merken:
$\int \frac1x \,\mathrm{d}x=\ln|x|+C$
$\int 3\sqrt{x} \, \mathrm{d}x$
Wurzel in Potenz umformen
(In dem Fall wird hier auch noch die Faktorregel angewendet)
$\int 3\sqrt{x} \, \mathrm{d}x=3\cdot \int x^\frac12\, \mathrm{d}x$Potenzregel anwenden
$3\cdot \int x^\frac12 \, \mathrm{d}x=3\cdot\frac{1}{1,5}x^{\frac12+1}$ $=3\cdot\frac{2}{3}x^\frac32$Potenz umschreiben
$\int 3\sqrt{x} \, \mathrm{d}x=2x^\frac32$ $=2\sqrt{x^3}\color{purple}{+C}$
Wurzeln und Brüche integrieren, Integrationsregeln, Integrieren, Stammfunktion
