Produktregel
Um ein Produkt abzuleiten, nutzt man die Produktregel.
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Merke
$f(x)=g(x)\cdot h(x)$
$f'(x)=\color{red}{g'(x)}\cdot h(x) +\color{red}{h'(x)}\cdot g(x)$
$f'(x)=\color{red}{g'(x)}\cdot h(x) +\color{red}{h'(x)}\cdot g(x)$
Beispiel
$f(x)=x^2\cdot3x^4$
Funktion in Teilfunktionen zerlegen
$g(x)=x^2$ und $h(x)=3x^4$Teilfunktionen ableiten
$g'(x)=\color{blue}{2x}$ und $h'(x)=\color{green}{12x^3}$Einsetzen
$f'(x)=\color{blue}{g'(x)}\cdot h(x) +\color{green}{h'(x)}\cdot g(x)$
$f'(x)=\color{blue}{2x}\cdot 3x^4 +\color{green}{12x^3}\cdot x^2$ $=6x^5+12x^5$ $=18x^5$
Tipp: Dieses Beispiel kann man auch zusammenrechnen und nur mit der Potenzregel ableiten:
$f(x)=x^2\cdot3x^4=3x^6$$f'(x)=18x^5$
Produktregel - Ableitungsregeln, Ableitung, Ableiten, Produkt ableiten
Beachte, dass das Ableiten eines Produktes aus mehreren Funktionen nicht so einfach wie bei der Summenregel gliedweise erfolgen kann. Deshalb solltest du dir die Produktregel auswendig merken und ausreichend üben.
Das Vorgehen ist dabei für eine Funktion der Form $f(x)=g(x)\cdot h(x)$ immer gleich:
- Teilfunktionen $g(x)$ und $h(x)$ bestimmen
- Teilfunktionen ableiten
- Teilfunktionen und Ableitungen in die Formel $g'(x)\cdot h(x)+h'(x)\cdot g(x)$ einsetzen
Bei mehr als zwei Faktoren wird die Produktregel mehrfach angewendet. Man zerlegt die Funktion immer in zwei Teile. Dabei kann eine Teilfunktion ebenfalls wieder ein Produkt sein, auf das zum Bestimmen der Ableitung nochmal die Produktregel angewendet werden muss.
