Quotientenregel
Um einen Quotienten abzuleiten, nutzt man die Quotientenregel.
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Merke
$f(x)=\frac{g(x)}{h(x)}$
$f'(x)=\frac{\color{red}{g'(x)}\cdot h(x) -\color{red}{h'(x)}\cdot g(x)}{(h(x))^2}$
$f'(x)=\frac{\color{red}{g'(x)}\cdot h(x) -\color{red}{h'(x)}\cdot g(x)}{(h(x))^2}$
Beispiel
$f(x)=\frac{x}{x+1}$
Funktion in Teilfunktionen zerlegen
$g(x)=x$ und $h(x)=x+1$Teilfunktionen ableiten
$g'(x)=\color{blue}{1}$ und $h'(x)=\color{green}{1}$Einsetzen
$f'(x)=\frac{\color{blue}{g'(x)}\cdot h(x) -\color{green}{h'(x)}\cdot g(x)}{(h(x))^2}$
$f'(x)=\frac{\color{blue}{1}\cdot (x+1) -\color{green}{1}\cdot x}{(x+1)^2}$ $=\frac{1}{(x+1)^2}$
Quotientenregel - Ableitungsregeln, Ableiten, Ableitung, Bruch ableiten
Wenn sowohl Zähler als auch Nenner einer Funktion nicht nur aus Konstanten bestehen, muss die Quotientenregel angewendet werden.
Das Vorgehen ist dabei für eine Funktion der Form $f(x)=\frac{g(x)}{h(x)}$ immer gleich:
- Teilfunktionen $g(x)$ und $h(x)$ bestimmen
- Teilfunktionen ableiten
- Teilfunktionen und Ableitungen in die Formel $f'(x)=\frac{\color{red}{g'(x)}\cdot h(x) -\color{red}{h'(x)}\cdot g(x)}{(h(x))^2}$ einsetzen
