Hauptsatz der Differenzial- und Integralrechnung
Der Hauptsatz der Differenzial- und Integralrechnung lautet:
Merke
- wird benutzt bei der Berechnung bestimmter Integrale.
- verbindet das bestimmte mit dem unbestimmten Integral.
- stellt den Zusammenhang zwischen Differenzial- und Integralrechnung dar.
Tipp
$(F(b)+C)-(F(a)+C)$ $=F(b)-F(a)$
Hauptsatz der Differenzial- und Integralrechnung, Integralrechnung, bestimmtes Integral, Fläche
Ein bestimmtes Integral ist eine konstante Zahl, die den Flächeninhalt unter einem Funktionsgraphen angibt. Nun interessiert einen, wie man von der angegebenen Definition $\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x$ eines bestimmten Integrals auf ebenjene Zahl kommt.
Entscheidend dafür ist die Stammfunktion $F$, die den summierten Flächeinhalt bis zu einer Stelle $x$ unterhalb der Funktion angibt. Beim bestimmten Integral wird allerdings nur der Flächeinhalt im Integrationsintervall $[a; b]$ gesucht. Also wird vom gesamten Flächeninhalt bis zu Stelle b, nämlich $F(b)$, noch der Teil $F(a)$ abgezogen.
Häufig wird in eckigen Klammern die Stammfunktion $F$ als Zwischenschritt notiert. Beachte dabei trotzdem weiterhin die Integrationsgrenzen anzugeben.
