Erster Strahlensatz

Um den ersten Strahlensatz anwenden zu können, muss also wieder folgende Konstruktion vorliegen.

$Anwendungsvoraussetzungen Strahlensaetze$

Beim ersten Strahlensatz geht es um das Verhältnis zwischen den beiden Strahlen.

Formeln

$\frac{\overline{ZA'}}{\overline{ZA}}=\frac{\overline{ZB'}}{\overline{ZB}}$

$\frac{\overline{AA'}}{\overline{ZA}}=\frac{\overline{BB'}}{\overline{ZB}}$

Beispiele

Gleichheit zeigen

Man nehme die tatsächlichen Längen aus oben abgebildetem Koordinatensystem. Dadurch ergibt sich
- $\overline{ZB}=6$
- $\overline{ZB'}=12$
- $\overline{ZA}$ $=\sqrt{(2-(-6))^2+(-2-(-4))^2}$ $=\sqrt{8^2+2^2}$ $=\sqrt{64+4}$ $=\sqrt{68}$
  $strahlensaetze_strecke_az$
- $\overline{ZA'}=\sqrt{272}$
Durch Einsetzen in die erste Formel erkennt man, dass die Werte die Gleichheit erfüllen.

$\frac{\overline{ZA'}}{\overline{ZA}}$ $=\frac{\sqrt{272}}{\sqrt{68}}=2$ $=\frac{12}{6}$ $=\frac{\overline{ZB'}}{\overline{ZB}}$
Dasselbe Prinzip können wir auch für die zweite Formel anwenden. Wir wissen schon
- $\overline{ZA}=\sqrt{68}$
- $\overline{ZB}=6$
und können nun ebenfalls berechnen
- $\overline{AA'}=\sqrt{68}$
- $\overline{BB'}=6$
Durch Einsetzen in die zweite Formel erkennt man, dass die Werte die Gleichheit erfüllen.

$\frac{\overline{AA'}}{\overline{ZA}}$ $=\frac{\sqrt{68}}{\sqrt{68}}=1$ $=\frac{6}{6}$ $=\frac{\overline{BB'}}{\overline{ZB}}$

Gleichung lösen

Bei den folgenden zwei Aufgaben sind drei der vier Werte bekannt und der vierte ist gesucht.

Nun lösen wir uns vom abgebildeten Koordinatensystem und behalten nur die Grundstruktur im Kopf. Es soll nun gelten
- $\overline{ZA'}=16$
- $\overline{ZA}=6$
- $\overline{ZB}=4,5$
Durch Einsetzen in die erste Formel erhält man dann $\overline{ZB'}=\frac{\overline{ZA'}}{\overline{ZA}}\cdot\overline{ZB}$ $=\frac{16}{6}\cdot4,5$ $=12$.
Nun soll gelten
- $\overline{AA'}=2$
- $\overline{BB'}=3$
- $\overline{ZB}=6$
Durch Einsetzen in die zweite Formel erhält man dann $\overline{ZA}=\frac{\overline{ZB}}{\overline{BB'}}\cdot\overline{AA'}$ $=\frac63\cdot2$ $=4$.

Tipp

Falls unklar sein sollte, wie man beim 3. und 4. Beispiel auf die Lösung kommt, könnte es hilfreich sein, sich noch einmal Bruchgleichungen anzuschauen.

1. Strahlensatz: Erklärung, Definition, Formel

Der erster Strahlensatz besagt, wenn die Anwendungsvoraussetzungen erfüllt sind:

Das Verhältnis von zwei Strecken auf einem Strahl entspricht dem Verhältnis der entsprechenden Strecken auf dem anderen Strahl.