Mathe ↠ Quadratische Gleichungen

Quadratische Gleichungen

Quadratische Gleichungen sind Gleichungen zweiten Grades, das heißt eine Variable kommt in zweiter Potenz ($x^2$) vor und es gibt keine Variablen mit höherem Exponenten (z. B. $x^3$, $x^4$, ...).

Formen von quadratischen Gleichungen

Man unterscheidet zwischen der allgemeinen Form und der Normalform einer quadratischen Gleichung. Mit Äquivalenzumformung kann jede quadratische Gleichung in diese Formen gebracht werden.

Allgemeine Form

Jede quadratische Gleichung kann in folgende allgemeine Form gebracht werden:

$ax^2+bx+c=0$

$a$, $b$ und $c$ nennt man Koeffizienten. Es gilt $a\neq0$, da es sich sonst um keine quadratische Gleichung handeln würde. Die anderen beiden Koeffizienten $b$ und $c$ können hingegen auch den Wert null annehmen.

Normalform

Für $a=1$ erhält man die sogenannte Normalform einer quadratischen Gleichung.

$x^2+px+q=0$

Um eine quadratische Gleichung in die Normalform zu bringen, wird die gesamte Gleichung durch den Koeffizienten $a$, also die Zahl vor dem $x^2$, geteilt.

$ax^2+bx+c=0\quad|:a$

$x^2+\frac{b}{a}x+\frac{c}{a}=0$

Lösen von quadratischen Gleichungen

Eine quadratische Gleichung kann entweder eine, zwei oder keine Lösungen haben. Je nach Typ bieten sich unterschiedliche Lösungsverfahren an.

Rein quadratische Gleichungen

Bei einer rein quadratischen Gleichung fehlt das lineare Glied:

$x^2-q=0$

Durch Umstellen und Wurzelziehen erhält man die Lösungen

$x_1=+\sqrt{q}$ und $x_2=-\sqrt{q}$
!

Merke

$x^2+q=0$ mit positivem $q$ hat keine Lösung, da ein Wurzelziehen dann nicht möglich ist.

Quadratische Ergänzung

Gemischt quadratische Gleichungen der Form $x^2+px+q$ können mithilfe von quadratischer Ergänzung gelöst werden.

  1. Quadratische Ergänzung auf beiden Seiten der Gleichung
    $x^2+px\color{red}{+(\frac{p}{2})^2}=-q+(\frac{p}{2})^2$
  2. Binomische Formel rückwärts anwenden
    $(x+\color{red}{\frac{p}{2}})^2=-q+\color{red}{(\frac{p}{2})^2}$
  3. Quadratwurzel ziehen und $x$ auf eine Seite bringen

PQ-Formel

Alle quadratischen Gleichungen lassen sich mit der PQ-Formel lösen. Dadurch spart man die aufwändige quadratische Ergänzung.

Voraussetzung ist eine quadratische Gleichung in der Normalform: $x^2+\color{green}{p}x+\color{blue}{q}=0$. Die PQ-Formel lautet dann:

$x_{1,2} = -\frac{\color{green}{p}}{2} \pm\sqrt{(\frac{\color{green}{p}}{2})^2-\color{blue}{q}}$

Mitternachtsformel (abc-Formel)

Jede quadratische Gleichungen lässt sich auch mit der Mitternachtsformel (manchmal abc-Formel genannt) lösen. Ob man die PQ-Formel oder Mitternachtsformel verwendet, ist dabei eine Frage von persönlicher Präferenz bzw. abhängig vom Lehrer.

  • Vorteil der Mitternachtsformel: Keine Normalform nötig
  • Nachteil der Mitternachtsformel: Die Formel ist schwieriger zu merken

Gegeben ist eine quadratische Gleichung in der allgemeinen Form: $\color{red}{a}x^2+\color{green}{b}x+\color{blue}{c}=0$. Die Mitternachtsformel zum Lösen dieser Gleichung lautet:

$x_{1,2} = \frac{-\color{green}{b} \pm \sqrt{\color{green}{b}^2 - 4\color{red}{a}\color{blue}{c}}}{2\color{red}{a}}$
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